Dispersión y difracción. Velocidad de grupo
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  VELOCIDAD DE GRUPO

Tomado de Michael Fowler, Univ. of Virginia, USA

Traducción de la página original...

Para entender esta aplicación, seleccione primero la llamada "velocidad de grupo" (group velocity) al valor 1. En esas condiciones observará un patrón de ondas "congelado" que se desplaza hacia la derecha, lo que representaría, por ejemplo, la propagación de una onda sonora. Aumente ahora la "frecuencia" (frequency) utilizando el cursor inferior y comprobará que los picos se juntan. ¿Pero por qué se amontonan los picos en estos paquetes? Lo que realmente nos está mostrando esta aplicación es la onda generada por dos notas puras muy próximas entre sí, por lo que se forman "pulsos" (sonidos de tipo "uaa - uaa - uaa - ..."), que se corresponden con lo que denominamos un "paquete de ondas".

Mientras la velocidad de grupo sea igual a 1, los paquetes de ondas se mueven a la misma velocidad que lo hacen las ondas individuales, y esto es cierto tanto para las ondas sonoras como para las luminosas. Sin embargo, otros tipos de ondas, como las ondas que se generan en la superficie del agua, o las ondas electrónicas cuánticas, tienen un comportamiento más interesante. Las ondas que genera la proa de un barco en movimiento, vistas a una cierta distancia después de haberse producido, parecen como un único paquete de ondas, con sus picos de ondas individuales. Pero si se miran con algo más de detenimiento, se observa que los picos individuales se mueven respecto del paquete de ondas y, es más, se mueven a una velocidad doble de la del paquete. Para simplificar, en esta aplicación, la velocidad de las ondas individuales, que llamamos "velocidad de fase",  está fijada al valor 1. La "velocidad de grupo" (group velocity) es la velocidad del paquete de ondas. Así que para obtener una representación de cómo se comportan las ondas individuales en la proa de un barco, colocaremos ahora la "velocidad del grupo" (group velocity) al valor 0.5. Entonces observaremos que las ondas individuales parecen desaparecer en la vanguardia del paquete (en esta aplicación realmente éstas se mueven al paquete siguiente, pero en el caso de las ondas producidas por un barco existe un sólo paquete de ondas, que se genera pulsando a la vez muchas ondas próximas, en lugar de las dos que se utilizan en esta aplicación).

El paquete de ondas que describe un electrón no relativista en la mecánica cuántica es también un único pulso, pero en este caso la velocidad de grupo es el doble de la "velocidad de fase" (la velocidad de las ondas individuales), así que a medida que el paquete de ondas se propaga, las ondas individuales desaparecen en la parte trasera del paquete. Esto puede observarse si, manteniendo la "frecuencia" alta (cursor inferior), llevamos hasta el máximo la "velocidad de grupo".

Una discusión completa del caso cuántico puede consultarse en la lección sobre paquetes de ondas del autor.

Cuando cada componente tiene una velocidad próxima, pero diferente, y por tanto longitudes de onda ligeramente diferentes, es decir, el medio es dispersivo, la velocidad del pulso (velocidad de grupo) es distinta de las velocidades de cada una de las componentes, de forma que la velocidad de grupo es:

vg = 2π  Δω / ΔK

y sólo es igual a la "velocidad de fase" cuando todas las componentes tienen la misma velocidad.

Dependiendo del rango que se use de frecuencias y de velocidades, el pulso puede producir la ilusión de ir más deprisa o más despacio que las ondas individuales e incluso puede parecer que va hacia atrás.

En la figura de arriba, el pulso se genera por superposición de dos ondas de igual amplitud, con velocidad de fase igual a la unidad y dos frecuencias y longitudes de onda próximas, de forma que la perturbación total es:
2 A cos (K1x - ω1t) cos [ (K2 - K1) x - (ω2 - ω1) t ]

En el cursor de arriba se varia la velocidad de grupo = (ω2 - ω1) / (K2 - K1)

Y en el de abajo se varía la frecuencia =  ω1

 Merece la pena mencionar que por análisis de Fourier se comprueba que la dimensión del pulso Δx es inversamente proporcional al intervalo de frecuencias empleado, origen de todas las relaciones de incertidumbre en movimientos ondulatorios.
 
Pero, volvamos al punto de partida...
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